导语

      干涉仪给出的“面形图”有颜色、有高低，也有纳米刻度。但在这张图的源头，探测器记录的只有明暗。表面的起伏，是怎样从这些强度变化中测出来的？

      在 CGH 零位检测（CGH Null Test）中，被测件（Unit Under Test，UUT）的名义面在采集前就已参与测试波前和光路几何的设计。最终图上的高低，既来自光的相位，也依赖这份预先建立的比较关系。

图1：从干涉强度到表面误差——数值换算、测量几何与基准、坐标映射之间的关系

一、相机只记录明暗，相位从哪里来？

      参考光与测试光在探测器上相干叠加，两束光的相位差便通过干涉项进入光强。相机记录的是每个像素的亮暗，而不是相位本身：[1]

      I_（x,y） = I_r + I_t + 2√(I_rI_t) cos[Δφ(x,y)]

      一幅图给出了亮暗，却不能直接把每个像素的亮度当作相位。相移干涉（Phase-Shifting Interferometry，PSI）为此引入几个已知相移，记录同一像素在这些状态下的强度：

      I_k (x,y) = A(x,y) + B(x,y) cos[φ(x,y) + δ_k]

      固定一个像素，在波前和光强保持稳定、各帧正确配准的条件下，强度随已知相移按余弦规律变化。由这组样本逐像素恢复包裹相位，再依据空间连续性补回整周，得到展开相位；仅靠展开不能确定绝对光程。[1,7]

      相位恢复确定了两束光的相位差；要换算成光程差，还需要波长给出的长度标尺。

图2：同一相位场生成四帧强度，再由强度恢复包裹相位并展开（P 为固定像素。本文依据四步法计算绘制，非实测数据）[7]

二、相位有了，为什么还不能叫“面形”？

      单色光下，波长给出了相位差与光程差（Optical Path Difference，OPD）之间的尺度关系：

      ΔOPD(x,y) = λΔφ(x,y) / (2π)

      相位差由弧度换成了 nm 或 μm，波前差（wavefront difference）或波前误差（wavefront error）也就有了长度标尺。单位变成了长度，物理量却仍然是光程差。一次单位换算，并没有把它变成表面高度。

1、这张波前图，属于哪个传播面？

      二维波前图（wavefront map）并不是随光束一起平移的一张固定地图。同一束光从一个截面传播到另一个截面，波前曲率和相位分布会随之演化，因此一般有：

      W(x, y; z₁) ≠ W(x, y; z₂)

      哈特曼（Hartmann）或横向剪切方法先测得局部斜率或相位差，再重建其测量参考面上的波前。与设计光瞳（pupil）或出瞳（exit pupil）结果比较时，还需统一传播面或共轭关系，不能直接把传感器结果当作出瞳波前。[5,6]

      在 CGH 零位检测中，传播位置也是设计约束的一部分。测试光到达规定的 UUT 位置时，应形成与理想表面匹配的目标波前：局部波矢沿表面法线方向，光近法向入射并沿原路径返回。这种匹配必须在指定的被测面上成立，而不是在任意截面上得到一张外形相似的相位图。[2]

图3：左：同一收敛球面波在两个传播截面上的相对光程剖面，统一横向与纵向尺度；右：CGH 目标波前在设计 UUT 处与名义面匹配（解析几何示意，非实测数据）

三、从波前到表面，为什么反射测量常常要“除以 2”？

      从光程差换到表面偏差，需要把光程变化放回反射几何。在空气中、法向入射时，若表面沿局部法线偏离 δh_n，去程和回程各发生一次相应的光程变化。对于微小偏差，忽略符号约定，一阶关系为：

     |δOPD| ≈  2|δh_n|

      熟悉的 |δh_n| ≈ |δOPD| / 2 就来自这段往返光路。这个“2”由测量几何给出，并不是软件对所有反射测量统一采用的规则。

      入射光与局部表面法线存在夹角 θ 时，同一偏差还要计入方向投影。在空气中、单次反射和小偏差模型下：

   |δOPD|   ≈ 2 |δh_n| cos θ

      这里的 θ 是光线与局部表面法线的夹角，而不是表面相对光轴的倾斜角。非球面可以很陡；在理想零位（Null）几何下，测试光仍可沿名义面的局部法线入射，θ 仍然很小。

      表面偏差（surface departure）的方向也参与了换算：沿固定坐标轴的高度差，与沿名义面局部法线的偏差，在大斜率区域并不完全等价。

      而测得的残余波前（residual wavefront）还可能混有参考光学、装调、传播和补偿元件本身的贡献。几何换算不会替我们分离这些来源；在相应贡献已被正确处理、测量几何定义明确以后，换算结果才具有明确的表面意义。

图4：反射光程差与法向位移——左为法向入射，右为局部斜入射（换算取绝对值，入射角相对局部法线定义）

四、面形误差，是相对于哪个面？

      表面误差还包含另一层约定：它始终是相对于某个面而言的。实际表面（actual surface）与名义设计面（nominal surface）之间的差，称为相对名义面的偏差（departure from nominal）；去除允许的拟合自由度后，显示的则是最佳拟合后的残差（best-fit residual）。这些结果都可以呈现为彩色图，含义却不同。若采用共同坐标和相同高度定义，可以写成：

      Z_actual (x,y) =  Z_nominal (x,y) + δ_z(x,y)

δ_z(x,y)=Z_actual(x,y) - Z_nomi nal(x,y)

       δz 描述实际表面相对于名义面的偏差，用于评价制造结果；名义非球面相对于参考球面的非球面偏离量（aspheric departure from a reference / best-fit sphere），描述的是设计面本身。比较对象不同，两种 departure 便不是同一个量。残余波前则仍属于光学参考状态下的测量结果，不能未经换算就当作表面偏差。

1、名义面怎样参与比较？

      同样是与名义面比较，测量路径可以不同。以 LUPHOScan 为代表的扫描式三维面形测量，通过多波长干涉测距与扫描位置计量获得表面几何信息，再在数据处理中评价它与名义面的差异。这条路径更接近“先获得几何，再比较”。[3]

      CGH 零位检测则把名义面纳入了采集前的光学设计。目标测试波前与测试几何由名义 UUT 决定，实际表面偏离这一状态后，在返回光中留下残余波前；经过校准、表面换算（surface conversion）和坐标映射，才得到相对名义面的表面偏差。[2,4]

五、数值算对了，它属于 UUT 上的哪里？

      一张表面误差图不仅给出偏差大小，也给出偏差发生的位置。前面的换算解释了“值”的含义，却没有自动完成“位置”的对应。

      探测器坐标域（detector domain）中的像素排列规则，并不意味着被测面上的对应位置也等间距。在球面标准镜组件（Transmission Sphere）、零位补偿器（null lens）或 CGH 等光路中，测试面到干涉图之间可能存在非线性的成像畸变（imaging distortion），可用两者之间的坐标映射（mapping）描述。[1]

(x_detector , y_detector) ≠ (x_{JJT ,} y_UUT)

      对 CGH 检测，探测器中的规则采样，经过光学映射后在被测面坐标域（UUT domain）上未必仍然等间距。忽略这层映射，数值就可能被放到错误的表面区域。位置错了，值再准也会归错区域。坐标映射所完成的，是将每一个测得的值放回它对应的 UUT 位置。[4]

      最终显示的数据还可能经过有效口径与掩膜（mask）、无效点处理、参考与标定校正（reference / calibration correction），以及活塞项（piston）、倾斜项（tilt）、光焦度项（power）或其他允许项的拟合与去除。不同软件的处理顺序和选项并不完全相同；同一组原始数据采用不同口径或拟合条件，也可能形成不同的报告残差。

图5：从探测器数据到 UUT 表面误差图

从明暗到面形

      强度帧 → 相位差 → OPD／波前差 → 测量几何与基准 → 坐标映射 → 表面误差 → 最终报告

      相机最初记录的明暗，经过相位恢复才有了光程差；这份光程差再通过测量几何、坐标映射和基准约定，被解释成表面偏差。每一步改变的都不只是数据形式，也包括这些数值所代表的物理含义。

      图上的每一个数值，都连着一个表面位置和一个比较基准。纳米刻度说明了数值的尺度，却不能单独说明它测到了什么。

 

附：结果图中的定义与处理条件

 

信息层	可能出现的量或处理	对应的含义
显示量	残余相位 / 波前 / 表面误差	量的名称决定读数含义，不能只凭 nm 单位把波前差当作表面误差。
比较基准	实际表面、名义设计面、相对名义面的偏差、参考波前	名义面、光学参考状态和拟合后的参考面，不是同一个基准。
偏差方向	轴向高度差 / 局部法向偏差	在大斜率区域，轴向高度差与局部法向偏差并不等价。
拟合状态	相对名义面的原始偏差 / 最佳拟合残差	最佳拟合后的结果，已去除了允许的自由度。
坐标域	探测器 / 干涉图 / CGH / UUT	未经对应的坐标映射，数值可能被归到 UUT 的错误区域。
校正与口径	参考与标定校正、掩膜、有效口径	校正、掩膜与有效口径共同限定报告结果的含义。
去除项	piston / tilt / power / Zernike 项去除	项去除会改变图形及 PV、RMS。

参考资料

[1] Ping Zhou. Error Analysis and Data Reduction for Interferometric Surface Measurements. Ph.D. Dissertation, University of Arizona, 2009. 重点参考第 1、2、3、5 章。

[2] 彭建涛. 基于计算全息的拼接式大口径光学系统检测与共相技术研究. 中国科学院大学博士学位论文, 2017. 重点参考 CGH 零位补偿与测试几何相关章节。

[3] Taylor Hobson. LUPHOScan Non-contact 3D Optical Profilometer / MWLI technology；Best fit methods for aspheres. 公开产品与技术资料。

[4] Arizona Optical Metrology (AOM). What is a CGH?；What is CGH mapping and how does it get corrected? 公开技术资料。

[5] MathWorks. Model Shack-Hartmann Wavefront Sensor. “Shack-Hartmann Wavefront Sensor Principles”及“Measure Wavefront”两节。https://www.mathworks.com/help/images/model-shack-hartmann-wavefront-sensor.html （访问：2026-10-12）

[6] Phasics. Lens and assembly testing solutions. “Single-pass measurement setup”一节。https://www.phasics.com/en/applications/optics-systems-metrology/lens-and-assembly-testing/ （访问：2026-10-12）

[7] Greg A. Smith. Phase Shifting Interferometry. University of Arizona. “Four Measurements”及“Final Comments”两节。https://webs.optics.arizona.edu/gsmith/PhaseShift.html （访问：2026-10-12）