上一篇说明了 CGH如何通过微结构,使选定的衍射级次获得目标测试波前。进入实际检测,还要决定用哪一级光完成测量,以及怎样处理其他级次。不同选择会牵动刻线尺度、有效回光和杂散光抑制,使同一个目标波前对应不同的工程代价。

      为什么有时采用三级,而不是一级工作?哪些非工作通道可能沿往返光路进入测量? Tilt与Power分别怎样帮助分离?分离到什么程度,才足以满足测量要求?

      本篇围绕这四个问题,从高阶工作的收益与代价出发,进一步讨论往返通道的筛选与空间滤波。同一份空间编码连接着加工图案和传播光场,相关取舍最终需要结合制造能力与测量误差要求来判断。

一、为什么有时采用三级工作

      三级工作的一项直接收益,是在实现同一目标波前时放宽局部图案。但图案尺度、制造误差和有效回光之间的关系,需要分别看清。这里先以常见的 50%占空比二值结构为例:理想模型中的非零偶数级效率为零,因此以下比较一级与三级工作。[1]

图案放宽与位置误差传递

      沿用上一篇的局部周期编码模型,基础编码相位 Ψ 规定图案怎样排列;在标量薄元件近似下,第 m级获得的编码附加相位为 mΨ。这里假定占空比、相位深度等结构参数一致,使各级次系数 c_m 不带有随位置变化的额外相位。

      当入射波前与检测几何保持相同,对连续展开的目标附加相位 Φ_req ,一级和三级方案可以分别采用:

Ψ₁ = Φ_req,    Ψ₃ = Φ_req / 3

      两种方案对应的是重新设计的两套图案。直接把一块已经加工好的一级 CGH改用三级,会改变工作光获得的附加相位，原有零位条件也会改变。

      在同一位置、实现相同目标局部波矢变化时,局部周期满足:

p_m = |m| p₁

      例如,一级方案某处的周期为 4μm,三级方案可放宽至 12μm;若占空比均为 50%,对应线宽便由 2μm变为 6μm。较宽的图案可以缓解精细刻线的加工压力。

 

 

      图1｜同一目标波前重新设计的一级与三级方案。A 比较局部二值相位图案，B比较理想单程效率与双程效率乘积；模型条件见图内。

      但相同的绝对位置偏差，并不会因周期放宽而自动产生更小的相位误差。考虑局部图案整体沿刻线法向发生小位移δu，单程编码相位误差的绝对值近似为:[1]

|δφ| ≈ (2π|m| / p_m) |δu|

      代入 p_m = |m| p₁ ,级次与周期增大的倍数恰好抵消。若两种图案在该处均偏移 20 nm,单程相位误差都约为 0.0314 rad;在 632.8 nm 波长下,对应约 3.16 nm的等效光程差(OPD)。

      因此,图案放宽改善的是制造条件;这一项波前贡献能否降低,还取决于实际位置偏差是否随之减小。上述关系描述局部图案整体位移,线宽、占空比、刻蚀深度和基板误差各有不同的传递机制,需要分别判断。

双程工作光量按效率乘积下降

      更高的工作级次还伴随着光量代价。对于理想、无损、 50%占空比、两级相位差为 π 的二值相位结构,单个非零奇数级的单程衍射效率为:[1]

η_m = 4 / (π² m²),    m = ±1, ±3, ...

      若工作光两次通过 CGH时的衍射效率相同,并暂不计其他损耗,双程工作光量按两次效率的乘积下降:

工作通道	单程效率	双程效率乘积
(+1,+1)	约40.5%	约16.4%
(+3,+3)	约4.50%	约0.203%

      在这一模型中,三级的单程效率约为一级的 1/9,双程效率乘积则约为 1/81。实际回光还受到待测件反射、 CGH透射、孔径截断以及两次入射条件的影响。

      工作回光变弱以后,参考光强度、曝光时间和探测噪声对测量的影响也随之变化。与此同时,图案仍可能把更多能量分配给非工作级次;这些光是否沿实际往返光路进入测量,便成为下一个问题。

二、哪些非工作通道可能进入测量

      三级工作时,目标回光虽然较弱, CGH产生的一级光仍可能很强。但一束光分到了多少能量,与它最终会给测量带来多大干扰,是两个不同的问题。从 CGH到待测面,再返回干涉仪,传播、反射和孔径共同改变着返回光场的组成。

      在反射面双程检测中,光两次经过同一块 CGH。沿用 CGH03的级次约定,用(m, n)表示去程与回程级次,三级工作的目标通道记为(+3,+3)。这两个数字的先后顺序,保留了光在往返过程中经历的不同波前变换。本文只讨论级次绝对值对光量和路径的影响,符号约定不影响效率乘积的计算。

      例如,(+1,+5)与(+5,+1)的级次和均为 6,也与目标通道相同,但它们的传播过程并不相同。去程衍射先改变了照向待测面的波前，随后的反射又受到局部面形和入射方向影响;返回光还可能落在CGH的另一处图案上。因此，交换两次衍射的级次，可能改变反射位置、回程采样位置和累计光程。仅凭级次和，无法确定最终的返回波前。[2]

      这些差异也不只体现在中心光线上。待测面的有效范围、回程CGH的口径以及后续孔径，会沿途截去部分光束。最终返回的可能只是某条通道的一部分光场,其口径覆盖和空间分布都可能与工作光不同。中心光线已经偏离接收孔口，边缘光仍可能接近孔内;中心光线的间距，因而不能完整描述两束光的分离状态。[2]

 

      图 2 CGH检测系统的往返光路及接受面几何落点分布；上图：double-pass(往返)光路下，CGH各衍射级次的光线走向；下图：源点（焦点）附近CGH各衍射级次组合的空间分离，寄生级次与工作级次的最小分离距离>2mm。

      光量分配则为这些通道提供了另一层差别。沿用上一节的理想二值π相位模型，两次衍射效率的乘积η_mη_n如下:

部分候选通道	理想效率乘积	相对工作通道
(+3,+3)工作通道	约0.203%	1
(+1,+3)/(+3,+1)	约1.83%	9
(+1,+5)/(+5,+1)	约0.657%	3.24
(+1,+1)	约16.4%	81

      这些数值只描述两次衍射的理想光量权重,尚未包含待测件反射、孔径截断和滤波。[1]

      表中的9倍或81倍，因而不等于探测端杂散光与工作光的功率比。效率乘积较大的通道，可能在返回途中偏离有效口径;效率较低的通道,也可能因为返回位置和聚焦状态接近工作光而留下更多残余。衍射效率的排序，并不直接对应干扰程度的排序。

      到了探测面,残余光的振幅与相位、它和工作光或参考光的空间重叠,以及相干性、偏振和移相响应,才共同决定它如何进入测量结果。有效相干叠加可能形成寄生条纹或相位偏差;不能形成有效相干干扰的分量,则可能主要增加背景与噪声。

      因此, CGH的级次分离始终对应着具体的往返通道。 Tilt与 Power所要改变的,正是这些通道相对于工作光的传播和聚焦状态。

三、Tilt与 Power怎样创造分离条件

      对于仍可能进入测量的非工作通道, Tilt与 Power利用的是不同级次对同一编码相位的不同响应。线性相位改变偏转,二次相位改变曲率;这些差异经过传播,可以使非工作光在滤波位置呈现出与工作光不同的分布。

      它们与加工图案之间的联系,来自相位梯度。沿用前面的局部薄元件模型,第 m级获得的编码相位为 mΨ,对应的切向波矢变化与局部周期满足:

Δk_{|| m} = m∇Ψ,    p = 2π / |∇Ψ|

      这里的梯度在 CGH平面内求取。它既描述光在该处获得怎样的偏转,也规定刻线要排得多密。因此，用载频改变传播方向的同时，加工图案也会发生变化。

      Tilt对应线性相位,例如 Ψ_Tilt = a_x x + a_y y ,其梯度大小和方向处处相同。不同级次获得不同的附加偏转,经过后续聚焦,可以在合适的滤波平面上形成横向间隔。已有针对特定布局的分析,正是通过滤波面上的干扰场分布，确定所需的 Tilt载频。[3]

      工作光本身也会受到 Tilt的作用。分离取决于非工作通道相对于工作通道的变化,而不是某一束光单独偏转了多少。对于双程检测,这种相对变化还包含待测面反射和第二次衍射的影响,因此单程角度差只能解释其中一部分。

      Power则利用曲率差异。在近轴、旋转对称的描述中,它可写成二次相位 Ψ_Power = b(x² + y²)。不同级次获得不同的附加曲率，因而可能形成不同的轴向焦点。当滤波孔位于工作光聚焦的位置时，非工作光可能已经散焦，更多能量分布在孔外。

      但散焦光斑变大，并不意味着孔内场随之消失。在同轴布局中，非工作光仍可能覆盖工作滤波孔;穿过孔口的残余场还会继续传播，并受到孔口衍射的影响。Power带来的抑制效果，因而与散焦分布、孔径和孔后传播共同有关。[4]

 

图3｜Tilt与Power的分离机制示意

      Tilt与 Power可以共同承担分离任务，但它们也共同进入总编码相位。补偿项与载频项的梯度按向量相加:同向时可能使局部刻线更密,反向时则可能部分抵消,放宽某些区域的周期。某一处刻线变疏，并不保证全口径的最小线宽也得到改善。载频的方向、大小及其组合，由此同时影响分离效果和制造条件。

      这种联系使载频设计成为光路设计的一部分。入射波前与各元件相对位置固定后,工作光所需的总相位也受到零位条件约束;载频带来的偏转和曲率变化,需要在相应的检测几何中得到匹配。针对具有解析表达式的凹非球面,已有研究联合求解 Tilt与 Defocus,在相关干扰通道分离的约束下尽量降低 CGH线密度。[5]

      因此, Tilt与 Power的取舍,既包含非工作光怎样离开接收范围,也包含工作光怎样保持零位往返。横向间隔或轴向焦点差异,为滤波提供了条件;这些差异经过滤波后留下多少残余场,以及它会带来多大的测量偏差,才决定分离是否足够。

四、分离到什么程度才足够

      一支非工作光即使只剩下很少的能量,也可能给相位恢复带来可观偏差;为了阻挡它而过度缩小滤波孔,又可能削弱需要测量的面形信息。分离是否足够,因而同时涉及残余光场与有效测量信息。

      待测面的真实起伏会改变返回光场的空间分布。在相应的空间滤波平面,孔径过小可能截去承载部分面形空间频率的传播分量,使恢复结果变得更平滑,却失去所需的细节。孔口自身的衍射还会改变探测面的残余场。因此，滤波带来的杂散光减少，需要与面形信息的传递一起评价。[4]

      相干残余光的影响,尤其不能仅凭功率比例判断。干涉相位来自复振幅的叠加,较弱的场也可能改变合成场的相位。考虑探测面某一位置,设工作测试场为 E_t ,一支与它同偏振、稳定相干,并以相同移相响应进入恢复复场的残余场为 E_p 。令振幅比 r = |E_p| / |E_t|,相对相位为 Δφ,则:

E = E_t (1 + r e^iΔφ)

δφ = arg(1 + r e^iΔφ)

      当残余场很弱时, δφ ≈ r sinΔφ 。相位偏差因而按振幅比的一阶量变化,而局部强度比是 r² 。

      由复振幅相加的几何关系,当 0 ≤ r < 1 时,取最不利的相对相位,可以得到局部等效 OPD偏差的上限:

|δOPD|_max = (λ / 2π) arcsin r ≈ λr / 2π    (r ≪ 1)

      以 632.8 nm波长为例,残余场振幅为工作场的 1%,对应的局部强度比只有 0.01%,最大 OPD偏差仍约 1.01 nm。如果为这一局部误差项分配 0.2 nm限值,同一模型给出的允许振幅比约 0.002,对应强度比约 4×10^-6 。

 

图4｜单支相干残余场的局部相位偏差。左侧为复振幅矢量合成示意，右侧按最不利相对相位计算等效 OPD上限;适用条件见图内。图中的局部强度比与整束光总功率比不同。

      这里的比例都指探测面同一位置的场和强度,不能直接用整束光的总功率比替代;这些数值描述的也是局部恢复相位的等效 OPD,并非最终面形 RMS。真实系统中的多支相干场会按复振幅相加;当不同通道具有不同的移相响应时,恢复偏差还与具体算法有关。

      这也把前面几节的关系连了起来:级次效率决定各通道最初获得多少光,传播与孔径改变它们在探测面上的分布,残余场再通过干涉进入恢复相位。载频和滤波孔径的取舍,需要沿着这条关系落到具体的测量误差上。

      当允许的误差明确以后,分离设计便有了共同的评价尺度:残余光对测量的影响满足限值,同时保留所需的面形信息与有效回光。继续增大间距、增加散焦或缩小孔径所带来的收益,也应在这一尺度下判断。

结语

      CGH的工作级次、载频与滤波孔径,分别影响编码尺度、光场传播和信号接收,又通过同一条往返光路彼此关联。图案放宽带来的制造收益,需要与有效回光的减少一起衡量;级次分离带来的抑制效果,也需要结合面形信息的传递和相位恢复误差来评价。这些取舍共同决定了一套检测方案能够达到的测量能力。

下篇预告

      本篇讨论级次如何选择与分离，下一篇进一步讨论承载这些过程的检测几何:采用平面波还是球面波入射，CGH放在干涉仪焦点的哪一侧，与被测面保持多大距离?这些布置如何改变所需的补偿相位，又怎样影响刻线分布与光路实现?

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参考资料

[1] Zhou, P.,& Burge, J. H. Fabrication error analysis and experimental demonstration for computer-generated holograms. Applied Optics, 46(5), 657-663(2007). DOI:10.1364/A0.46.000657.

[2] He, Y., Hou, X., Wu, F., Ma, X.,& Liang, R. Analysis of spurious diffraction orders of computer-generated hologram in symmetric aspheric metrology. Optics Express,25(17)，20556-20572(2017).DOI:10.1364/0E.25.020556.

[3] Peng, J., Ren, J., Zhang, X.,& Chen, Z. Analytical investigation of the parasitic diffraction orders of tilt carrier frequency computer-generated holograms. Applied Optics, 54(13), 4033-4041(2015). DOI: 10.1364/AO.54.004033.

[4] Garbusi, E.,& Osten, W. Analytical study of disturbing diffraction orders in in-line computer generated holograms for aspheric testing. Optics Communications,283(13)，2651-2656(2010).DOI:10.1016/j.optcom.2010.03.018.

[5] Liang, Z., Zhao, H.,& Yang, Y. Solving optimal carrier frequencies of a CGH null compensator through a double-constrained searching method based on iterative ray-tracings. Applied Optics, 61(16), 4699-4709(2022). DOI: 10.1364/AO.455315.